"Черные лебеди" или каково на самом деле распределение прибылей

Есть известная книга 2007 г. The Black Swan: the Impact of Highly Improbable, написанная Нассимом Талебом. Авто - это ливано-американский эссеист, академик и бывший трейдер, изучающий разные стохастические (случайные) явления на примере прежде всего финансовых данных. Оставляя мысль книги не gloom doom придет большой кризис и всё навернется, как часто думают, а он довольно скучный и заключается в том, что специалисты по финансовой статистике довольно давно недооценивали роль сильный отклонений от средней, а последние несколько десятилетий это они заметили и описали. Ранее, скажем в середине 20го века, многим казалось, что распределение прибылей (прибыль, return, это значит вы берете акцию XYZ и смотрите на любом временном отрезке изменение день 1 ко дню 2 -> return 1, процент прибыли дня 3го ко дню 2му -> return 2 и так на всем time window), например дневных, месячных, годовых, должны нормально распределяться (по Гауссу), однако оценка реальных данных показывает примерно следующее.

отсюда

отсюда



отсюда


На самом деле, распределение ненормальное. Но какое тогда? Ответ как в некоторых VK статусах "всё сложно". Оно действительно сложное и описывается примерно так (еще зависит от time window, но мы берем статистику по американскому фондовому рынку и несколько десятилетий). Это часто симметричное, но иногда слабо несимметричное (skewed, зависит от time window and timeframe) распределение, часто на больших горизонтах времени часто средняя в положительной области. При этом на расстоянии >2 сигм направо и налево есть заметные палочки, т.е. те самые события, часто очень кратковременные однодневные или встык день в день периоды падения и роста, которых вроде бы не должно было быть. Еще одно описание - эти распределения прибылей подобны распределению средних величин ака распределение Стьюдента (t distribution) с низким значением degrees of freedom (скажем k=2 or 3). Как известно со статьи 1908 г. Уильяма Госсета (ака Student), распределение средних величин ведет себя не так, как нормальное распределение и "хвосты" распределения этого тем "толще" чем меньше степеней свободы (на рисунке ниже это параметр k).


внизу параметр nu - это число степеней свободы. Видно что "толстые хвосты" у распределения Стьюдента уходят с ростом nu.


И еще, что не очевидно, events с крайнего левого фланга плотности распределения близки к events с правого фланга распределения. Это тем, кто видел большие bear markets заметно, когда после офигительный панических sell-offs буквально через 1-3 торговых дня идет офигительный же rebound.

отсюда